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人の集団を考える． ２つの意見があり，各人はそのどちらかの意見を持ち，周りの人の意見分布に
よってその意見を変えていく． 人の集団の意見分布は時間的・空間的にどのように変わっていくか？
２次元セルオートマトンモデル
１人の人間を１つのセルで，人の集団を n×n 個のセルから成る正方格子で表す．
n は適当な正の整数．
各セルは意見”1”か意見”0”のどちらかの状態をとる．
ある意見に賛成か反対かのときは賛成を意見”1”，反対を意見”0”とすればよい．
セルの２つの状態をそれぞれ整数 1 と 0 で表し，画像では次のよう配色する．
| 状 態 | 記 号 | 画 像 |
| 意見 ”1” | 1 |  |
| 意見 ”0” | 0 |  |
[ 1 ] 初期配置：
正方格子上，各セルは確率 p で状態 1 に，確率 1 - p で状態 0 状態にあるとする．
[ 2 ] 状態遷移 ： Moore近傍を使い，周期的境界条件を採用．
８個の近傍セル 
の状態に依存して，
着目セル 
の次の時間ステップの状態が決まる．
状態遷移のルール ： 着目セルの状態は，そのセルも含めたMoore近傍の９個のセルの中で
状態１のセルの個数が τ (=tau) 個以上のとき, 次の時間ステップで状態１
になり，それ以外では状態 0 になる．
τ を意見決定の局所閾値と呼ぶ。τ＝５の場合が単純多数決に当たり，
τ＝４の場合は意見”1”が有力意見とみなされる．
τ としては，τ = 3, 4, 5, 6 等が考えられる．
[ 3 ] 系の時間的・空間的変化 ：
更新された状態に同じ状態遷移ルールを適用して次の時間ステップの系の状態が決まる．
この過程を繰り返すことにより系の時間的・空間的変化が進行する．
アニメーションとグラフ
シミュレーションプログラムに対する入力パラメータ
| n | 人の集団を ｎ×ｎ 個のセルから成る正方格子で表す． |
|---|
| p | 初期状態での意見”1”の割合 |
|---|
| τ | 意見決定の局所閾値 |
|---|
| t | シミュレーションの時間ステップ数（変化が無ければ自動的に停止） |
|---|
[ 1 ] 意見決定の局所閾値 τ = 5 (単純多数決）の場合 ： 初期状態での意見”1”の割合 p を変えていく．
[ 1.1 ] n=200; p=0.4; τ=5; t=37
左画像： 初期状態 （1 を40%， 0 を60% の割合でランダムに配置）
右画像： 37 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 1.2 ] n=200; p=0.45; τ=5; t=28
左画像： 初期状態 （1 を45%， 0 を55% の割合でランダムに配置）
右画像： 28 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 1.3 ] n=200; p=0.5; τ=5; t=40
左画像： 初期状態 （1 を50%， 0 50% の割合でランダムに配置）
右画像： 40 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 1.4 ] n=200; p=0.55; τ=5; t=26
左画像： 初期状態 （1 を55%， 0 を45% の割合でランダムに配置）
右画像： 26 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 1.5 ] n=200; p=0.6; τ=5; t=46
左画像： 初期状態 （1 を60%， 0 を40% の割合でランダムに配置）
右画像： 46 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
意見決定の局所閾値 τ = 5 (単純多数決）の場合のまとめ：
定常状態での空間分布 p は初期状態での意見”1”の割合
意見”1”の割合の時間的変化のグラフ
定常状態でのクラスターの大きさの分布
●
p = 0.4 では，意見”1”の割合は単調に減少して，0.103 で定常となり，複雑な形の孤立した小さな
クラスターからなる定常的な空間分布が現れる．
p = 0.45 でも p = 0.4 の場合と同様の定常分布が現れるが，意見”1”の割合の定常値は 0.250 である．
●
p = 0.55 では，意見”1”の割合は単調に増加して，0.743 で定常となり，全域に広がった１つの集団となる．
このとき，意見”0”のクラスターの分布は，”1”と”0”の対称性から当然であるが， p = 0.45 の場合
の意見”1”のクラスターの分布と同様のものになる．
p = 0.6 では p = 0.55 の場合と同様の定常分布が現れるが，意見”1”の割合の定常値は 0.908 である．
このとき，意見”0”のクラスターの分布は p = 0.40 の場合の意見”1”のクラスターの分布と同様のものになる．
●
p = 0.5 では意見”1”の割合ははじめからほとんど変わらない．
しかし，空間分布は上のアニメーションで見られるような変化をし，複雑な形をした１個の大きなクラスター
が出現して定常状態となる．意見”1”と意見”0”は互いに入り組んだ領域を
形成して住み分けている．これは物理や化学でいうパーコレーションクラスター（percolation cluster)に類似している．
すなわち，p = 0.5 はパーコレーションの臨界密度に相当する．
[ 2 ] 意見決定の局所閾値 τ = 4 (有力意見）の場合 ： 初期状態での意見”1”の割合 p を変えていく．
[ 2.1 ] n=200; p=0.23; τ=4; t=45
左画像： 初期状態 （1 を23%， 0 を77% の割合でランダムに配置）
右画像： 45 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 2.2 ] n=200; p=0.245; τ=4; t=61
左画像： 初期状態 （1 を24.5%， 0 を75.5% の割合でランダムに配置）
右画像： 61 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 2.3 ] n=200; p=0.2457; τ=4; t=82
左画像： 初期状態 （1 を24.57%， 0 を75.43 %の割合でランダムに配置）
右画像： 82 時間ステップ後に現れた定常分布．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 2.4 ] n=200; p=0.246; τ=4; t=200
左画像： 初期状態 （1 を24.6%， 0 を75.4% の割合でランダムに配置）
右画像： 200 時間ステップ後に現れた分布であるが，それ以後も，意見”1”（青）の領域は全体を埋め尽くすまで増え続ける．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
[ 2.5 ] n=200; p=0.29; τ=4; t=99
左画像： 初期状態 （1 を29%， 0 を71% の割合でランダムに配置）
右画像： 99 時間ステップ後に，下の右画像に見るように，青の領域が全体を埋め尽くした．
♣
左画像上にマウスポインタを置くとアニメーションが始まる．はずすと初期画像にもどる．
意見決定の局所閾値 τ = 4 (有力意見）の場合のまとめ：
定常状態での空間分布 p は初期状態での意見”1”の割合
意見”1”の割合の時間的変化のグラフ
定常状態でのクラスターの大きさの分布
●
どの p に対しても，初期の時間ステップで意見”1”の割合が減少するのは，ランダムに配置した初期条件
のためである．その後，おおむね凸多角形のクラスターを形成しながら増加して，p = 0.23 では 0.160 で，
p = 0.245 では 0.208 で種々の大きさの小さな孤立したクラスターから成る定常状態になる．
●
p = 0.246 では，凸多角形のクラスターの成長は止まらず，意見”1”（青）の領域は全体を埋め尽くすまで増え続ける．
p = 0.29 では凸多角形のクラスターはもっと早く成長し，より短時間で意見”1”（青）の領域が全体を埋め尽くす．
●
凸多角形のクラスターの成長が止まって定常分布になるか，成長を続けて全域で意見”1”になるかの臨界点
はほぼ p = 0.2457 である．これは核生成(nucleation)の現象に似ている．このシミュレーションでは
核生成の臨界密度はほぼ pc = 0.2457 ということになる．
