[B.2] 速度に比例する抵抗力が働く場合 付録：運動方程式とその解
●
地上 200m の高さから小さな雨滴が落下する場合を想定し，そのシミュレーションを動画で表してみよう．
鉛直下向きを正にとると，
雨滴が受ける力は重力 mg と速度に比例する
抵抗力 Fd=k1v の
合力 F=mg-k1v である．
♣
「落下のシミュレーション」の画像上にマウスポインタを置くと，動画が始まる．
はずすと初期画面にもどる．
t = ... の数字は運動し始めてからの経過時間（単位は秒）を示す．この場合，9.61秒で地面に到達する．
その右の図は，１秒間経過するごとの高さを示している．比較のため，空気抵抗が無視できる自由落下のシミュレーションの
動画と１秒間経過するごとの高さを示す画像を提示している．この場合は，6.39秒で地面に到達する．
| 速度に比例する空気抵抗がある場合 | 空気抵抗が無視できる場合 |
落下のシミュレーション
高さ x [m]，時間 t [s] |
１秒間経過ごとの高さ
高さ x [m] |
自由落下のシミュレーション
高さ x [m]，時間 t [s] |
１秒間経過ごとの高さ
高さ x [m] |
 |
 |
 |
 |
●
雨滴は速度 v = 0 から重力によって落下し始め，落下するにつれて速度は大きくなる．
それに比例して空気の抵抗力は増大し，重力の一部を打ち消して，雨滴が受ける合力は小さくなる．やがて重力と抵抗力がつり合って合力は事実上 0 になる．
運動の第２法則によって加速度は合力に比例するので，加速度も 0 となり，一定の速度で落下するようになる．この一定の速度を終端速度という．
上図のシミュレーションのデータから次の表を得る．
| 経過時間 [s] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 高さ [m] | 200.00 | 195.60 | 184.10 | 167.40 | 147.00 |
124.00 | 99.04 | 72.69 | 45.36 | 17.30 |
| １秒毎の落下距離 [m/s] | | 4.40 | 11.50 | 16.70 |
20.40 | 23.00 | 24.96 | 26.35 | 27.33 | 28.06 |
| １秒毎の落下距離の増分 [m/s2] | | |
7.10 | 5.20 | 3.70 | 2.60 | 1.96 | 1.39 | 0.98 | 0.73 |
●
上の表において，「１秒毎の落下距離の増分」が次第に小さくなっていることから，加速度が 0 に近づいていることがわか
る．しかし，まだ終端速度には達していない．
落下速度の時間的変化のグラフは左図のようになる．
このような表やグラフから終端速度を推定することができる．ここでは，
v
t = 29.9[m/s]
である．
●
なお，落下距離と高さの時間的変化のグラフは下図のようになる．
